彩票怎样才能中奖?

理论上,只能靠运气。但是,如果规则设计得不好,就可以钻漏洞。

2005年2月,美国的一个彩票品种,就出现了漏洞,被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年,这个学生反复购买这个品种,一共赚到了300万美元。

本文介绍他怎么做的,以及其中的数学原理。我依据的材料,主要来自数学教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大学的一次演讲(Youtube)。

一、期望值

彩票最重要的数学概念,叫做”期望值”(expected value),即同一种行为多次重复以后,所能得到的平均收益。

举例来说,如果每次抽奖需要2元,假设200次抽奖可以中奖一次,奖金为300元。那么,你花了2000元,一共抽奖1000次,中奖了5次,奖金为1500元。

也就是说,1000次抽奖的总收益是1500元,每次的平均收益是1.5元,这就是期望值。它的计算公式如下。

期望值是1.5元,但是每次抽奖成本2元,于是净亏损0.5元。

一看就知道,这个事情是不划算的,做得越多,越不划算。偶尔买一次彩票,倒也算了;如果你一天到晚不断买彩票,就肯定会亏很多钱(上例是每200次亏100元)。

总之,期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。

二、马萨诸塞州的 WinFall 彩票

美国马萨诸塞州有一个彩票品种,叫做 WinFall。它的规则很简单:1到48里面,你猜6个数字,猜中就有奖。

  • 四等奖(6个猜中2个):奖金2元
  • 三等奖(6个猜中3个):奖金5元
  • 二等奖(6个猜中4个):奖金150元
  • 一等奖(6个猜中5个):奖金4000元
  • 特等奖(6个猜中6个):奖金池剩余的全部奖金

有一期,一共卖出了930万张彩票,其中特等奖一个,奖金100万美元,一等奖238个,二等奖11625个,三等奖19.8万个,四等奖136.8万个。

计算可知,这种彩票的期望值是0.798元。

每张彩票的价格是2元,可是平均收益只有0.798元,连一半都不到,可见这种彩票是非常不划算的。因此没有吸引力,购买这种彩票的民众不断减少。

州政府很着急,因为政府从彩票抽成20%(每张0.4元)。如果销售量减少,政府的收益也会减少。于是,政府为了增加这种彩票的吸引力,决定修改彩票规则。

三、新规则

新的规则是,如果当期没有特等奖(没人猜中6个数字),那么奖金会分配给一等奖、二等奖、三等奖的得主,各奖项新的中奖金额如下。

  • 一等奖(6中5):50000元
  • 二等奖(6中4):2385元
  • 三等奖(6中3):60元

还是使用前面的中奖率,计算期望值。

每张彩票的价格还是2元,但是期望值变成了5.53元。购买这种彩票就变得非常划算,大量购买的话, 可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本,是因为奖金池还包含前期剩余的奖金。

麻省理工学院的一个学生,发现了这一点。他凑了5000元购买彩票,结果中了将近15000元!

四、如何选择号码?

现在我们知道,新规则的彩票是有利可图的,可以大量购买。但是,还有一个问题,应该怎么选择号码,才能保证收益?也就是说,48个号码里面,你应该选择哪6个号码,才能收益最大化?

毕竟你不能购买所有彩票,因为彩票的收益来自没中奖的那些人。你只能购买一部分彩票,设法使得自己购买的号码有最大的中奖可能。

为了简化思考,让我们考虑一种简单的情况。1到7里面猜三个数字,奖金如下。

  • 猜中3个:奖金6元
  • 猜中2个:奖金2元
  • 猜中1个:无奖金

你可以同时选择七种组合(即购买七张彩票),请问应该如何选择号码?

五、组合数公式

首先,让我们考虑一下,1到7这七个数字里面,三个数字的组合一共有多少种?这在数学里面,叫做组合数公式

它的计算公式如下。

上面公式中,感叹号表示阶乘,比如4! 等于4 * 3 * 2 * 1

按照上面的定义,七个数字里面的三个号码的组合,共有c(7, 3)个。

这就是说,三个数字的组合共有 35 种。我们可以把它们全部列出来。

上面是所有35种可能的组合,你必须从中选出7种。请问应该选择哪七种?

六、最佳组合

答案是下面这七种组合。

这七张彩票能让你的收益最大化。因为,不管最后的中奖号码是什么,它们可以保证你总是获得6元奖金。如果中奖号码是123,那么你拿到头奖6元;如果中奖号码是367,那么167、346、357这三张彩票各自猜中两个号码,你中了三个小奖,奖金总额也是6元。

仔细观察这七张彩票,你会发现它们是精心选择的:每个数字都正好出现三次。这导致你要么中一个大奖,要么中三个小奖。

七、几何选择法

这七张彩票是怎么选出的呢?

有一种几何方法,可以非常简单地做到这一点。七个号码就是七个点,把它们用直线连起来,每根线上只能有三个点,而每个点出现在三根线上。画成上面的形状,就得到了七根线(内部的圆也算一根线)。然后,记录一下每根线上的号码,很简单就选出了七张彩票。

更严谨的证明是这样的:1到7这七个数字,共有21种两个数字的组合(C(7, 2)),这意味着只要把这21种组合都买全了,就可以保证中三个小奖。因为三个中奖号码里面,共有三种两个数字的组合(比如中奖号码是367,那么36、37、67都可以中小奖)。另一方面,由于每张彩票包含三个号码,即包含三种两个数字的组合,那么最少只要买7张彩票就能覆盖全部21种组合。

八、实际的策略

回到前面的问题,马萨诸塞州的彩票应该怎么买?

6个号码只要猜中4个,就可以中二等奖,只要把所有四个号码的组合都买了,就可以确保中15个二等奖(6个中奖号码共有15个四个号码的组合C(6, 4))。

48个号码里面共有194580种四个号码的组合(C(48, 4)),既然一张彩票包含15种组合,那么最少购买12972张彩票就够了(194580 / 15 = 12972),就可以包含所有四个号码的组合。如果有兴趣的话,你可以写一个程序,算出包含这194580种组合的所有彩票。

购买12972张彩票,需要25944元(12972 * 2)。根据前面的奖金额,二等奖的奖金是2385元,那么15个二等奖就是35775元(2385 * 15)。因此,投入25944元,可以无风险地获得35775元。当然,这样做的前提是,当期没人猜中特等奖,否则奖金就会被大大稀释。