今天早上,我有幸到女儿所在的三年级客串数学老师,和这一群好问的八九岁的小女孩有了一个愉快的互动。接着我去年的时候讲过的话题《七岁儿童的数学:图形着色,色彩数,欧拉路径和欧拉环》,我想和她们一起探索图论里的一些基本概念。这些概念数学内涵丰富,难度对于孩子来说也适宜。

这次我讲课的目标是让她们体会到独立发现连通平面图的欧拉示性数的惊喜。

我们从一个简单的例子开始,分别数出图中顶点(V)、边(E)和区域(R)的数量。在数区域的数量的时候,我强调说“图外面”的区域也算一个区域。

接着,为了给这堂课添加一些神秘色彩,我提到欧拉在计算V-E+R这个量时,发现它有个独特的性质。她们能够注意到欧拉的发现么?

每个学生都有自己的小册子且计算了各种各样简单的图的欧拉示性数,我也在教室里走动帮助他们。

最后,这些小女孩发现了:她们总是得到同一个结果—2!我听到她们说,“为什么总是得到2呢?”。她们发现了欧拉的惊喜!

老师们也对这个结果非常好奇,一个老师惊异地对我说,“我真的很想知道为什么总是2!”

接着,我建议同学们试试其他的几个不太常见的图,来检验一下这个“始终等于2”的情况有多么稳定。但是在这些图中,我们得到的结果仍然是2。

女孩们自己画出图形检验了这一假设。

最终,我设法提出了非连通图和有交叉边的图的例子,来检验“始终等于2”的现象。(注:V-E+R=2对这样的图不成立

就这样,我们一起把V-E+R=2的假设改进到只适用于连通平面图的情况。

现在,到了该证明的时候了。我一开始不确定我是否应该给出一个证明,毕竟他们才三年级,证明对他们来说有些太难。但是有些老师向我表达了他们想知道为什么的想法,他们鼓励我让我给出证明,说“即使有的同学不能够理解这个证明,光看到有人能给出这样的证明也会有很大的价值。多好的老师啊!

证明的过程如下。当一个图只有一个顶点,没有边的时候,V-E+R=2是成立的。而且,当往图里添加一个顶点和一个边的情况下,顶点和边(的贡献)能够互相抵消,这个等式也是成立的。同时,当往图中添加一条边并把一个已有的区域切分成两个的情况下,因为多了一个区域,多了一条边,这两个相互抵消,等式也是成立的。因为任何一个连通平面图都可以用上面描述的两种添加边和顶点的方式构建出来,所以V-E+R=2这个论证对于任何连通平面图都是成立的。这种证明是对图的势(size)的数学归纳法证明。

下一步,我们把研究对象转移到三维立方体和它们的表面上。对于各种各样的多面体,小女孩们依旧能够证实V-E+R=2的拓展例子。

接着,小女孩们自己画出多面体来计算欧拉示性数,我教她们怎么画立方体和图中所示的立方体;当图形不仅仅是一个简单的立方体时,这对孩子而言是一个挑战,尽管如此,一些小朋友仍然画出了些有趣的立方体。

最后,每个孩子都有一个可以带回家的精美的小册子。以上图片摘自班里一位同学的小册子。

多棒的一天啊!

你可以在这儿找到小册子—八岁小孩的数学:少儿图论

也可以查看我上一次讲课的报道:七岁小孩的数学:图着色和欧拉路径。