1.问题描述

现有一个 n 位数,你需要删除其中的 k 位,请问如何删除才能使得剩下的数最大?

比如当数为 2319274, k=1 时,删去 2 变成 319274 后是可能的最大值。

 

2.问题分析

[1]贪心解法

这题可以使用贪心策略,每次从高位向低位数,删除高位比低位数字小的那位上的数字,直到删除了k位之后,得到的数字肯定是最大值。

(1)删数问题具有最优子结构:

(2)删数问题具有贪心选择性质:

设问题T已按照上面的方法删除,假设 A=(y1,y2,···,yk) 是删数问题的一个最优解。易知,若问题有解,则1≤k≤n。 (1)当k=1时,由前得证,A=(y1,A′)是问题的最优解,其中A′是A中不删除了y1而删除其他位的最优解; (2)当k=q时,由反证法,可得A=(y1,y2···,yq)是最优解; 当k=q+1时,由前得证,A=(y1,y2···,yq+yq+1)是最优解。 所以,删数问题具有贪心选择性质。

代码很容易实现,AC,1.484s,1.089MB

#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
int t,k,len;
string name;
void deletek(){
    int tlen=name.length();
    int tk=k;
    bool flag=true;
    while (k--> 0 && flag) {
        flag=false;
        len = name.length();
        for (int i=0; i<len; i++) {
            if (i+1<len && name[i]<name[i+1]) {
                name.erase(i,1);
                len--;
                flag=true;
                break;
            }
        }
    }
    cout << name.substr(0,tlen-tk) << endl;
}
int main(int argc, const char * argv[])
{
    cin >> t;
    while (t-->0) {
        cin >> name;
        cin >> k;
        deletek();
    }
    return 0;
}

 

[2]动态规划解法

根据上面的分析可以看出此题还可用动态规划来解决,思路如下:

假设A(i,j)表示输入数字(字符串)的从第i位到第j位数字组成的字符串,S(i,j)表示前i位中删除j位得到的最优解,它实际上可以看做两个子问题:如果删除第j位,那么S(i,j)等于前i-1位删除j-1位的最优解加上第j位数字;如果不删除第j位,那么S(i,j)等于前i-1位删除j位的最优解。于是便有下面的递推式:

这个递推式非常类似最长公共子序列问题的递推式,所以解法也类似,在空间方面可以只使用一个一维数组,加上一个额外的O(1)的空间,计算过程如下面制作的表格所示,除了第一列,其他中间元素都只依赖于上面一行对应位置S(i−1,j)和上面一行左边位置S(i−1,j−1)两个元素的大小,比较的是字符串,使用字典序进行比较,C++内置的字符串比较函数compare即可。

动态规划实现代码 [这份代码没有AC,只能得到60分就超时了,应该还可以改进]。

#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_K 1001
int t,k;
string name;string up;string last;string temp;
void deletek(){
    int len=name.length();
    if(k>=len){
        cout << "" << endl;
        return;
    }
    string cur[MAX_K]={""};
    for (int i=1; i <= len; i++) {
        for (int j=0; j < i && j <= k; j++) {//
            if (j==0) {//sub string
                last=cur[j];
                cur[j]=name.substr(0,i);
            }else{//0 < j <= i
                up=cur[j]+name[i-1];//
                if (up.compare(last)>=0) {//up > left
                    last=cur[j];
                    cur[j]=up;
                }else{//up < left
                    temp=cur[j];
                    cur[j]=last;
                    last=temp;
                }
            }
        }
    }
    cout << cur[k] << endl;
}
int main(int argc, const char * argv[])
{
    cin >> t;
    while (t-->0) {
        cin >> name;
        cin >> k;
        deletek();
    }
    return 0;
}